5 - Multiple et Diviseur - Cours

Définition :
Lorsque le reste de la division euclidienne d'un nombre a par un nombre b est 0, on dit que :
  • a est un multiple de b ;
  • a est divisible par b ;
  • b est un diviseur de a.
Propriété :
Il existe différents critères de divisibilités. Un nombre est divisible par :
  • 2 si son chiffre des unités est 0; 2; 4; 6 ou 8 ;
  • 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3 ;
  • 4 si ses deux derniers chiffres forment un multiple de 4 ;
  • 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5 ;
  • 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9 ;
  • 10 si son chiffre des unités est 0.
Définition :
Un nombre est dit premier s'il possède exactement deux diviseurs différents : 1 et lui même.
Exemple :
3 est un nombre premier, mais 8 ne l'est pas : 3 est divisible que par 3 et 1 ; 8 est divisible par 2.
Remarque :
1 n'est pas un nombre premier car il ne possède qu'un diviseur : 1.
Méthode :
Pour trouver les nombres premiers, on peut utiliser le crible d'Ératosthène : Les nombres premiers inférieurs à 100 sont :
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97 (à savoir par cœur)
Propriété :
Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 peut être écrit sous la forme de produits de facteurs premiers.
Exemple :
156 = 2 × 78
156 = 2 × 2 × 39
156 = 2 × 2 × 3 × 13

750 = 10 × 75
750 = 5 × 2 × 75
750 = 5 × 2 × 25 × 3
750 = 5 × 2 × 5 × 5 × 3
750 = 2 × 3 × 5 × 5 × 5
Méthode :
La décomposition en produit de facteurs premiers permet de simplifier des fractions :
234 = 2 × 117
234 = 2 × 9 × 13
234 = 2 × 3 × 3 × 13

195 = 5 × 39
195 = 5 × 3 × 13 = 3 × 5 × 13

234195=2×3×3×133×5×13=2×35=65